Брахмагупта

Брахмагупта, Брамагупта (санск. ब्रह्मगुप्त, 598—670 хире) — индий математик болгаш астроном. Удджайнда обсерваторияны удуртуп турган. Византияга болгаш ислам чурттарга астрономия сайзыраарынче илдең салдарны киирген, астрономнуг санаашкыннарга алгебраның аргаларын ажыглап эгелээн, тик, кадар болгаш казыыр хемчеглер-биле операцияларны киирген. Бистиң үеге чедир ооң кол чогаалы «Брахма-спхута-сиддханта» шыгжаттынып четкен  («Брахманың мергежээн өөредии», азы «Брахма системазын эде көргени»). Чогаалдың колдуу кезии астрономияга хамааржыр, ийи эгелери (12-ги биле 18-ки) математикага хамааржыр.

Брахмагупта
санск. ब्रह्मगुप्तः
Төрүмел ады	санск. ब्रह्मगुप्तः
Төрүттүнген хүнү:	598
Төрүттүнген чери:	Бхинмал[d], Джалор[d], дивизион Джодхпур[d], Раджастхан[d], Индия[d][…]
Мөчээн хүнү:	670
Мөчээн чери:	Удджайн[d], Индия[d]
Эртем сферазы:	математика[d]

Намдары

Брахмагупта 598 чылда хире төрүттүнген. Ону «Брахма-спхута-сиддханта» деп номда бижип турган 628 чылда (Śaka 550) бодунуң харын 30 хар деп демдеглээн. Брахмагупта ол үеде Gurjara династияның чериниң төвү хоорай Бхилламалга (амгы үеде Соңгү-Барыын Индияда Раджастхан штатта Бхинмал) төрүттүнген. Ооң адазы – Джиснугупта. Вьяграмукхи чагырыкчының үезинде (ооң өмээржилгези-биле чадапчок) бооп чуртталгазының кол кезиин Бхинмалга эрттирген, ынчангаш ону Бхилламакарья (Бхилламадан башкы) деп-даа адап турган. Брахмагупта Удджайнда астрономия обсерваториязынга удуртукчулап турган. Ук обсерватория, аңаа Варахамихира база ажылдап турган, бурунгу Индияның эң экизи турган.

Хүн биле Айның өжээнин алыр дээн Рахунуң бажы, оларны чамдыкта сыырыптар, ынчалдыр хүн азы айның туттуруушкуннарын тывылдырар-дыр

Брахмагуптаның шинчилелдеринче кончуг дег салдарны ооң чүдүкчү көрүштери салганнар. Бүзүрелдиг индуист болгаш ооң үезинде өскелерниң октаргайже көрүштерин шүгүмчүлеп турган, чижээ, Чер болза дескинип турар сфера дээн Ариабхатаның  көрүжүн. Брахмагупта Ариабхата-биле хүн канчалдыр туттуруп турары дугайында база маргыжып турган:

Кижилер аразында туттуруушкуннарны [Раху улунуң Бажы] Баш тывылдырбас деп турарлар бар. Ол дээрге көк меге-дир, чүге дизе ол Баш тывылдырып турар, а делегейниң колдуу кижилери ыяк ол тывылдырып турарын чугаалап турар. Ведаларда, Бурганның Сөзүнде, Брахманың аскындан "Баш туттуруушкуннарны тывылдырып турар" деп үнүп турар. А шуптувуска удурланып турар Ариабхата, ыдыктыг сөстерге өжээргеп, туттуруушкуннар Баш дузазы-биле эвес, а чүгле Ай болгаш Черниң хөлегезинден тыптып турар… Шак ындыг авторлар хамык көвей чонга чагыртыр ужурлуг, чүге дизе шупту Ведаларда чүүлдер — ыдыктыг.

Ариабхатаның ажылдарын билир-даа болза, Бхаскараның ажылдарын көргени билдинмес. Брахмагуптаның ажылдарында ол чылдарның өске астрономнарның ажылдарынче шүгүмчүлел көвей, а «Брахма-спхута-сиддхантаның» иштинде бижээн чүүлдери индус математиктерниң аразында сандаралды херечилеп турарлар. Чөрүшкээзиниң барымдаазы болза колдуунда арстрономнуг параметрлерин шилиири болгаш теориязы болган. Брахмагуптаның удурланыкчыларының теорияларын «Брахма-спхута-сиддханта» деп ажылының эгеки он ийи эгелеринде шүгүмчүлээн, а он үшкү болгаш он сески эгелеринде шүгүмчүлел чок болган.

Араб эртемден Аль-Бируни «Китаб аль-Хинд» (1035 хире) деп номунда индус астрономнарның идейлерин тайылбырлаан. Ажылында болза Брахмагуптаны эң улуг авторитет деп айтып турар.

Кол ажылдары

Брахмагуптаның ийи кол ажылы билдингир: Brahmasphutasiddhanta (Брахма-спхута-сиддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадьяка) (665).

Брахма-спхута-сиддханта

«Брахма-спхута-сиддханта» («Брахманың мергежээн өөредии», азы «Брахма системазын эде көргени») — математиканы болгаш астрономияны бижээн Брахмагуптаның эң билдингир ажылы-дыр. Трактатты шүлүглеп бижээн, ында чүгле түңнелдерин шынзыдылга чокка бижээн. Ажылында 25 эге бар (өске дөстерде 24 эге биле таблицаларлыг капсырылга бар деп турар).

Баштайгы 10 эгелерде ол үениң астрономиязы дугайында ылаптыг сөзүглел болган, чадыкта оларны ажылдың бирги версиязы кылдыр санатынып турар, чүге дизе чүгле ол эгелерден тургустунган манускрипттер бар. Ол сөзүглелдиң ады безин бар – Daśādhyāyī. Ында болза, чижээ, долготаның ортаа болгаш алыс хемчээли, хүн эргилдезин санаары, хүн азы ай туттуруушкуннарын санаары, октаргай телоларының дээрге үнүп азы ажып кээри база чыскаалыры, үе аайы-биле туружун (эфемеридтер) санаар аргалар дугайнда бижээн.

Дараазында 15 эгелеринде бирги эгелеринге база хамаарышкан элээн немелделер бар, а оон математика эгелери база бар. Математиктиг эгелерде индий математиктерниң кол ийи аргаларын тайылбырлаан: «процедуралар математиказы», азы алгоритмнер, биле «үрезиннер математиказы», азы деңнелгелер. 12-ги эгениң адын «Математика» дээр, ында бөдүүн арфиметктиг операциялар, пропорциялар, чылзырларга болгаш одуругларга бодалгалар дугайында бижээн – ол бүгү Брахмагуптаның үезинде математиканың кол кезээ бооп турар. 18-ки эге, «Чажыкчы», алгебрага дорт хамаарылгалыг, ынчалза-даа ынчан ындыг термин турбаанда ону эгеде бирги бодалганың аайы-биле адаан.

VIII чүс чылдың ийиги чартыында, Аббасидтер динстиязындан Абу-ль-Аббас Абд-Аллах аль-Мамун (712—775) деп багдадтың халиви Индияга элчиннер-биле кады кээп чорааш, Удджайндан Кинках деп аттыг «Брахма-спхута-сиддхантага» даянган Индияның астрономия системазын башкылап турган эртемденни чалаан. Халиф ол номнуң араб дылче бижимел очулгазын чагыдып алган, ону 771 чылда математик болгаш философ Ибрахимом аль-Фазари күүсеткен. Таблица хевирлиг кылдыр (зиджа) херек тайылбыр болгаш сүмелерлиг кылган очулгазын «Улуг Синдхинд» деп адаан. Ал-Хорезми ук ажылды ажыглап, астрономия («Зидж ал-Хорезми») биле  арифметикага («Книга об индийском счёте») тураскааткан ажылдарын бижип чораан деп билдингир. XI чүс чылда ол очулганы латин дылче очулдурарга, туруштап санаар система нептерээн.

«Брахма-спхута-сиддханта» VII—IX чүс чылдарда кыдат математикер очулдуруп алганнар (эвээш дизе дөрт аңгы очулга билдингир), ынчалдыр ончуктап азы оннап санаар системаны кыдат эртемденнерге нептерээн. 1817 чылда математиктиг ийи эгелерни англи дылче Генри Томас Колбрук очулдурган.

860 чылда индий математик Prthudakasvami ук ажылга санал бижээн, ооң ады безин бар – Vāsanābhāṣya. Долу саналларның чүгле кезек манускриптери арткан. Ук эртем ажылының долу хевиринге база ооң аңгыда эгеки он эгелеринге кезек тускай саналдар база бар. Индига Брахмагуптаның ажылдарын 1902 биле 1966 чылдарда үндүрген.

Кхандакхадьяка

Брахмагупта ийиги ажылын, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), 665 чылда бижээн. Ол 8 эгеден тургустунган. Ук ажылында Брахмагупта элээн астрономнуг санаашкыннарны колдуу Ариабхатаның саналдаан системазы-биле тодарадып бөдүүнчүткен. Ында болза синустарны санаар интерполяциялыг (чоокшулаткан) формула бар. VIII чүс чылда Кхандакхадьяка ажылды араб дылче «Арканд» деп ат-биле очулдурган.

Кхандакхадьякага саналдар 864, 966, 1040, 1180 чылдарда бижиттинген, ооң чамдыызы чиде берген. Боду ном Калькуттага 1925 биле 1941 чылдарда парлаттынган. Англи дылче очулганы Сенгупта (Prabodh Chandra Sengupta) 1934 чылда күүсеткен.

Математикаже үүлези

Брахма-спхута-сиддханта деп ажылында Брахмагупта тиктиң тодарадылгазын берген: санны бодундан казыыры. Кадар саннарны – хөреңги, казыыр саннарны – өре деп көрүп тургаш, кадар, казыыр саннар база тик-биле арифметиктиг операцияларны бир дугаар киирген кижилерниң бирээзи ол болган. Улаштыр Брахмагупта арифметиканы алгыдар дээш тикке үлээшкинниң тодарадылгазын берген. Брахмагуптаныы-биле болза,

• Тикти тикке үлээни дээрге тик-тир;
• Кадар азы казыыр саннарны тикке үлээни дээрге хемчекчизинде тиктиг үүрмек сан;
• Тикти кадар азы казыыр санга үлээни тикке дең.

Брахмагупта хөй оранныг саннарның чагыжыгаштап көвүдедир үш аргаларны саналдаан (кол болгаш бөдүүнчүткен ийи), олар болза амгы үеде аргаларга дөмей бооп турар. Брахмагупта кол аргазын «gomutrika» деп адаан, ооң очулгазын Ифра «инектиң сидииниң траекториязы» (англ. "like the trajectory of cow's urine") деп берген.

Брахмагупта квадраттыг дазылдың чоокшуладып санаар аргазын саналдан, ол болза Ньютоннуң базымнап чоокшуладыр формулазынга (Newton-Raphson) дөп дөмей болган, дараазында кезек ax²+c=y² дег квадраттыг деңнелгелерни бодаар аргаларны, ax+c=by хевирлиг дорт деңнелгелер бодаар аргаларны дараалашкак үүрмек саннар аргазы-биле үндүрүп саналдаан.

«Квадраттарның түңү болза саннарның түңүн бирни немээн ийи катап көвей базымга көвүдеткеш, үшке үлээнинге дең. Кубтарның түңү болза бирден ол санга чедир түңнүң квадрады» деп бүзүредип тругаш, бирги n санның квадраттарының азы кубтарының түңүн бирги n санның түңү таварыштыр тодараткан. ... мынчалдыр бижип болур формулар шынзылга чокка көргүскен

Кхандакхадьяка ажылында Брахмагупта ийиги аайның интерполяциялаан формулазын саналдаан, ол формула 1000 ажыг чыл соонда үндүрген Ньютон — Стирлингтиң интерполяциялаан формулазы онзагай таварылгазы болган. Ону тригонометриктиг таблицаларында синустуң утказын интерполяциялаар дээш ажыглап турган. Формула f функцияның утказын аргументиниң утказын a + xh (кажан h > 0 биле −1 ≤ x ≤ 1, а функцияның утказы ук точкаларга a − h, a база a + h билдингир) a + h деп санааш, үнелеп турар. Ону дараазында дег бижиир:

$f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}},$

мында Δ — бирги аайның үстүкү төнчү ылгалының оператору, ылавылаарга

$\Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).$

Формула Брахмагупты для четырёхугольника

Брахмагупта долгандырыгның иштинде киир шыйдырган дөрт-булуңчуктуң шөлүн санаар форумланы саналдаан. Брахмагуптаның формулазы үш-булуңчукка Героннуң формулазын делгемчиткени бооп турар. Тодаргайлаарга, долгандырыгже киир шыйдырган a, b, c, d  талаларлыг болгаш p чартыкпериметрлиг дөрт-булуңчуктуң шөлү S

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Ынчалза-даа Брахмагупта чүгле долгандырыгже киир шыйып болур дөрт-бүлүңчуктарга формула хамааржыр деп боду тадаратпаан боорга, кезек төөгүжүлер Брахмагупта чазыпкан деп турар.

Кандыг-бир үш-булуңчуктуң долгандырыының радиузун санаар Брахмагуптаның база бир формулазы бар:

$R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {bc}{2h_{a}}}={\frac {ac}{2h_{b}}},$

мында a, b, c — үш булуңчуктуң талалары, h_a, h_b биле h_c — ооң бедиктери.

Брахмагуптаның деңнелгелери

Брахмагуптаның деңнелгелери утказы дээрге, ийи квадраттың түңүн өске ийи квадраттың түңүнге көвүдедиишкини ийи аңгы арга-биле санап болур ийи квадраттарның түңү бооп турар.

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.$

Чижээ,

$(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.$

Брахмагуптаның теоремазы

Брахмагуптаның теоремазы AF = FD деп тайылбырлап турар

Долгандырыгже киир шыйган бот-боттарынга перпендикуляр диагональдарлыг дөрт-булуңчуктуң бар дижик. Диагональдарның белдиринден кандыг-бир талазынче перпендикулярны бадырыптаалыңар. Белдирден өске талазынче уламчылапкаш, ук перпендикуляр дөрт-булуңчуктуң удур талазын ийи дең кезекке чарып турар.

Брахмагуптаның бодалгазы

Брахмагуптаның бодалгазы — циркуль биле шугумнуң дузазы-биле дөрт-булуңчукту дөрт талаларындан киир долгандырыгже киир шыяр. Бир бодаан аргазы Аполлонийниң долгандырыын ажыглап турар.

Астрономияже үүлези

Брахмагупта Черни бодунуң өзээн долганмас деп турган база Брахма-спхута-сиддханта деп ажылында чылдың узунун 365 хонук 6 шак 5 минут болгаш 19 секунд деп айыткан, ынчалза-даа дараазында Кхандакхадьяка ажылында чылдың узунун 365 хонук 6 шак 12 минут болгаш 36 секунда деп айыткан. Ийиги ажыдында утказын Ариабхатадан алган чадапчок.

Брахмагуптаның Брахма-спхута-сиддханта ажылында бижээн астрономнуг билиглери ооң шинчилелдери болгаш эртем угааны бедик деңнелдиг деп бадыткап турар. Иет, Брахмагупта ажылының «Айнын туттуруушкуну дугайында» деп чедиги эгезинде Айның Черден ыраа, Хүнге бодаарга ырак деп нептерээн үзелди буруу шапкан.

7.1. Бир эвес Ай Хүнден бедик болза, ооң Хүнге чоок талазы үргүлчү чырык болур ужурлуг.

7.2. Шак ынчалдыр, Айның Хүн-биле чырык талазы үргүлчү көскү, а чырык эвес талазы үргүлчү көзүлбес артар боор ужурлуг.

7.3. Айның чырыы [Айның чырык талазы] Хүннүн талазынче улгадып турар. Чырык чартык айның төнчүзүнде чартыы чырык болгаш өскези караңгы. Ынчангаш, чартык айның мыйыстарын санап болур.

Брахмагупта тайылбырлаан: Ай Хүнге бодаарга Черге чоок болганында, ооң чырыының деңнели Хүн биле Айның аразында туруштан хамааржыр, ынчангаш он утканы ийилдирзи дээр телоларының булуңнарындан санап болур.

Брахмагуптаның астрономияже кол үүлези болза дээрде телоларның үе аайы-биле туруштарын санаар арагалары (эфемеридалар), оларның үнерин база кирерин, чыскаалы, база хүннүң биле айның туттуруушкуннарын санаар аргалары бооп турар. Брахмагупта Черни калбак азы хос деп турар пураннарның космологиязын шүгүмчүлеп турган. Ол болза Чер биле дээр сфера хевирлиг болгаш Чер шимчеп турар деп турган. 1030 чылда газневид астроном Абу аль-Райхан аль-Бируни «Та’рих аль-Хинд» деп ажылында Брахмагуптаның ажылынга санал арттырган. Бируниниң демдеглээни-биле: Черни борбак деп турар теорияның шүгүмчүлекчилерниң саналдарынга («Бир эвес ындыг болза, даштар бронаш ыяштар черден аңдарлып тургай») Брахмагупта мынчалдыр харыылаан:

«Харын-даа дедир эвеспе, бир эвес ындыг болза, Чер бодунуң хевирин минута ишти безин тудуп шыдавас болур. […] Шупту аар хамык чүве черниң ортузунче чүткүүр […] Чер шупту талазындан дөмей. Черде шупту кижилер турар, база шупту аар хамык чүве черже бойдустуң хоойлузу-биле аңдарлыр, чүге дизе шупту чүүлдерни чоокшулай тыртып тудары – Черниң бойдузу-дур, шак ынчалдыр сугнуң — агар, оттуң — кывар, хаттың — шимчедир бойдузу-дур … Чер — дың чаңгыс чавыс чүүл-дүр, шупту чүүлдерни кайнаар-даа октаар болза ынаар дедир эглир, ооң соонда оон ыравастаар».

— Брахмагупта, Брахма-спхута-сиддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Черниң аар күжү дугайында Брахмагупта мынча диген:

«Бүдүмелдер черже аңдарлыр, чүге дизе Черниң бойдузу ындыг — бодунче чоокшулай тырттар, шак ынчалдыр сугнуң бойдузу - агар.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Чогаалдары

Брахмагуптаның кол ажылы, «Брахманың мергежээн өөредии» («Брахма-спхута-сиддханта», 628), 25 үлештиг бооп турар:

1. О состоянии земного шара и форме неба и земли.
2. Об оборотах светил и об определении времени; о том, как находить средние положения светил; об определении синуса дуги.
3. О составлении таблицы светил.
4. О трёх проблемах, а именно: о тени, о истекшей части дня и о гороскопе; а также о том, как выводить одно из них из другого.
5. О том, как светила появляются из-за лучей Солнца и как они скрываются за ними.
6. О том, как показывается молодой месяц, и о его двух рогах.
7. О затмении Луны.
8. О затмении Солнца.
9. О тени Луны.
10. О соединении и противостоянии светил.
11. О широтах светил.
12. О критике того, что содержится в книгах и таблицах, и о различении правильного от неправильного.
13. Об арифметике и её применении в исчислении расстояний и в других случаях.
14. Об уточнении среднего положения светил.
15. Об исправлении таблицы светил.
16. О точном исследовании трёх проблем.
17. Об отклонении затмений.
18. О точном определении появления молодого месяца и его двух рогов.
19. О методе «куттака».
20. О расчётах в размерах стихов и метрике.
21. Об окружностях и инструментах.
22. О четырёх мерах времени — по Солнцу, по восходу, по Луне и по лунным станциям.
23. О знаках для чисел и цифр в стихотворных сочинениях по этому предмету.
24. О доказательствах, не использующих математику.

Брахмагуптаның ийиги ажылы, «Кхандакхадьяка» (655), астрономияның фундаменталдыг ажыл бооп турар.

Парлалгалары

• Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Delhi, 1966. vol. 1.

Улай көр.

• en:Brāhmasphuṭasiddhānta
• en:Brahmagupta–Fibonacci identity
• en:Brahmagupta quadrilateral
• en:Brahmagupta's identity
• en:Brahmagupta's problem
• en:Brahmagupta matrix

Литература

• Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p.  (англ.)
• Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J.. — Princeton University Press, 2007. — 685 p.  (англ.)

• Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
• Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
• Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
• Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
• История математики, т.1, М., 1970.
• Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.

Шөлүглер

• Викишыгжамырда Брахмагупта деп темага хамаарышкан медиафайлдар бар.
• Брахмагупта // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. (Проверено 15 августа 2013)