Квадраттыг деңнелгелер

Квадраттыг деңнелге — ийиги чаданың алгебра деңнелгези, ооң ниити хевири болза

$ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,$

ында $x$ — билдинмес, а $a$, $b$ болгаш $c$ коэффициенттилер — боттуг азы комплекстиг саннар.

Квадраттыг деңнелгелер чижектери

1.1 Ийиги кежигүннүң квадрадын ылгап тургаш квадраттыг деңнелгелерни бодаары.

$x^{2}+6x+5=0$       (1)

деп квадраттыг деңнелгени графиктиг арга-биле бодап болур.

Ол деңнелгени графиктер тургуспайн бодап болур бе?

$x^{2}+6x+5$ деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр. Бир эвес $x^{2}$ каттыныгны ийи кежигүннүң бирги кежигүннүң квадрады кылдыр, а $6x$ деп каттыныгны бирги кежигүннүң ийигизинге көвүдээшкинин ийи катап улгаттырганы кылдыр көөр болза, $6x=2\cdot x\cdot 3$ деп тождестводан 3 деп сан ийи кежигүннүң ийиги кежигүнү болур.

Үш кежигүнге $3^{2}$ болгаш аңаа удурланышкак – $3^{2}$ деп саннарны кадыптар. Оон үнүп келири:

$x^{2}+6x+5=x^{2}+6x+3^{2}-3^{2}+5=(x^{2}+6x+9)-9+5=(x+3)^{2}-4$ (1)

деп деңнелге

$(x+3)^{2}-4=0$       (2)

деп деңнелгеге дең күштүг.

деп деңнелгениң солагай талакы кезээн квадраттарнын ылгалы ышкаш кылдыр чарыптаалыңар:

(x+3-2)(x+3+2) = 0,

тодаргайлаарга (х+1)(х+5) = 0       (3)

деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү -5; -1 аңаа дең күштүг (1) деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү база болур.

Деңнелгениң солагай талакы кезээнде ийи кежигүннүң квадрадын ылгаарының аргазын ажыглап тургаш, а≠0 турда, ax^2 + bx + c = 0 хевирлиг элээн каш деңнелгелерден бодаалыңар.

Чижек 1. х^2 - 5х + 8 = 0 деп деңнелгени бодаар.

х^2 - 5х + 8 деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр. Бир эвес х^2-ты ийи кежигүннүң бирги кежигүннүң квадрады кылдыр, а 5х-ти бирги кежигүннүң ийигизинге көвүдээшкинин ийи катап улгаттырганы (5х=2×х×5/2 ) кылдыр көөр болза, 5/2 деп сан ийи кежигүннүң ийиги кежигүнү болур.

Үш кежигүнге (5/2)^2 болгаш - (5/2)^2 деп ийи удурланышкак саннарны кадыпкаш, ундуруп алыры: х^2 - 5х + 8 = х^2 – 2 ×х× 5/2 + (5/2)^2 - (5/2)^2 + 8 = (х - 5/2)^2 - 25/4 + 8 = (х - 5/2)^2 + 7/4 .

Бердинген деңнелге (х - 5/2)^2 + 7/4 = 0

деп деңнелгеге дең күштүг. x кандыг-даа значениелиг турда, (x - 5/2)^2 + 7/4 деп көргүзүгнүң значениези кадар болганда, үнүп келген деңнелгениң дөстериниң бөлүү – куруг бөлүг – x^2 - 5x + 8 = 0 деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү база болур.

Чижек 2. х^2 - 18х + 81 = 0 деп деңнелгени бодаар.

Деңнелгениң солагай талакы кезээнде үш кежигүн х – 9 деп ийи кежигүннүң квадрадынга дең куштуг. ынчангаш, ол деңнелгени мындыг хевирлиг кылдыр бижип болур: (х-9)^(2 )=0

Чүгле х=9 турда, деңнелгениң солагай талакы кезээ тикче шилчий бээр. х^2 - 18х + 81 = 0 деп деңнелге 9-ка дең чүгле чаңгыс достүг.

Чижек 3.

Чижек: $3x^{2}-11x-20=0$

$3x^{2}-11x-20=0$ деп деңнелгени бодаар.

Деңнелгениң кайы-даа талакы кезээн $x^{2}$-тың коэффициентизинге үлепкеш, бердинген деңнелгеге дең күштүг бөдүүнчүткен квадраттыг деңнелге үндүрүп алыр: $x^{2}-11/3x-20/3=0$

$11/3x$-ти $x$-тиң $11/6$–ге ийи катап улгаттырган көвүдээшкини кылдыр $11/3x=2\cdot x\cdot 11/6$ көрүп болур болганда, $x^{2}-11/3x-20/3$ деп үш кежигүнге $(11/6)^{2}$ болгаш аңаа удурланышкак $(11/6)^{2}$ деп саннарны кадыпкаш, оон ийи кежигүн квадрадын ылгап болур: $x^{2}-11/3x-20/3=x^{2}-2\cdot x\cdot 11/6+(11/6)^{2}-(11/6)^{2}-20/3=(x-(11/6)^{2}-361/36$.

Деңнелге мындыг хевирлиг апаар: $(x-(11/6)^{2}-361/36=0$

Үнүп келген деңнелге $(x-11/6-19/6)(x-11/6+19/6)=0$

деп деңнелгеге дең күштүг, ынчангаш $(x-5)(x+4/3)=0$ деп деңнелгеге база дең күштүг болур. Ону бодааш, $3x^{2}-11x-20=0$ деп деңнелгениң дөстериниң бөлүүн тып алыр. Ол болза $-4/3$; $5$ болур.

Квадраттыг деңнелге дөстериниң формулазы

Ийи кежигүннүң квадрадын ылгап тургаш, квадраттыг деңнелгелерни бодаар арга-биле танышкан бис. Ынчалза-даа ол арга шүүттүг чаартылгалар кылырын негээр. Ынчангаш квадраттыг деңнелгени ниити хевирге турда бодааш, ооң дөстериниң формулазын үндүрүп алгаш, оон квадраттыг деңнелгелерни ол формула биле бодаарга эптиг. а ≠ 0 турда, (ax)^2 + bx + c = 0 (1) деп деңнелгени бодаарда, ооң бүгү кежигүннерин а-га үлептер. Оон аңаа дең куштуг х^2 + b/aх + c/a = 0 (2) деп деңнелге үнуп келир. х^2 + b/aх + c/a деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр: х^2 + b/aх + c/a = х^2 + 2х×b/2a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a = (x+b/2a)^2 - (b^2-4ac)/(4a^2 ) . (2) деп деңнелге (x+b/2a)^2 - (b^2-4ac)/(4a^2 ) = 0 (3) деп хевирлиг апаар. (3) деп деңнелгениң ((1) деп деңнелгениң база) дөстериниң саны (b^2-4ac)/(4a^2 ) деп үүрмек санның демдээнден хамааржыр. а ≠ 0 болганда, үүрмек санның хемчекчизи а кандыг-даа турда кадар болур, ынчангаш үүрмек санның демдээ ооң санакчызының демдээ-биле тодараттынар. b^2-4ac деп көргүзүгнү D деп үжүк-биле демдеглеп алгаш, (3) деп деңнелгени мындыг хевирлиг кылдыр бижиир: (x+b/2a)^2 - D/(4a^2) = 0 D ˂ 0, ынчан D/(4a^2 ) деп үүрмек санның значениези казыыр болур, а (x+b/2a)^2 - D/(4a^2 ) деп көргүзүгнүң значениези х кандыг-даа турда кадар болур. Ынчангаш бо таварылгада (3) деп деңнелге (аңаа дең куштуг (1) деп деңнелге база) дөстер чок бооп турар. D = 0, ынчан (3) деп деңнелге мындыг хевирлиг апаар: (x+b/2a)^2 = 0. Үнүп келген деңнелге (аңаа дең куштуг (1) деп деңнелге база) чүгле чаңгыс - b/2a –ге дең дөстүг бооп турар. D ˃ 0, ынчан D/(4a^2 ) деп үүрмек санны квадраттыг хевирге бижип алыр: D/(4a^2 ) (√D/2a )^2. Ынчан (1) деңнелге (x+b/2a)^2 - √D/2a )^2 = 0 деп деңнелге дең куштуг болур, тодаргайлаарга (x+ b/2a + √D/2a) (x+ b/2a - √D/2a) = 0. Оортан: x+ b/2a + √D/2a = 0 азы x+ b/2a - √D/2a = 0, Тодаргайлаарга x = (-b- √D)/2a азы x =(-b+√D)/2a . (1) деп деңнелге (-b- √D)/2a болгаш (-b+√D)/2a деп ийи дөстуг бооп турар. Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазы деп адаар көргүзүгнү кысказы-биле мынчаар бижиир: D = b^2-4ac турда, x = (-b ± √D)/2a. Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң бар болурун болгаш оларнын саны D = b^2-4ac деп көргүзүгнүң значениезинден хамааржыр. Ол көргүзүгнү квадраттыг деңнелгениң дискриминантызы дээр (латиннеп «дискриминант» дээрге «ылгакчы» дээн). D ˂ 0 турда деңнелге дөстер чок, D = 0 турда ол - b/2a деп чаңгыс дөстүг, D ˃ 0 турда, деңнелге (-b- √D)/2a болгаш (-b+√D)/2a деп ийи дөстуг болур.

Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазын D=0 турар таварылгада база ажыглап болур. D = 0 турда, формула мындыг хевирлиг апаар: x = (-b ± √0)/2a. Оортан x = - b/2a болур. Ынчангаш, ук формуланы дөстерлиг кандыг-даа квадраттыг деңнелгеге ажыглап болур. Үндүрүп алган формуланы ажыглап, квадраттыг деңнелгелерни бодаарын көргүскен.

Чижек 1. 12х^2 + 7х +1= 0 деп деңнелгени бодаар. Бо деңнелгеде а=12, b=7, с=1. Дискриминантызын тып алыр: D = 7^2 – 4 × 12× 1 = 1 Дискриминант кадар болганда, деңнелге ийи дөстүг, оларны квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазын ажыглап тургаш тывар: x = (-7 ± √1)/24. Оортан: x_1 = (-7- 1)/24 = - 1/3, x_2 = (-7+1)/24 = - 1/4 Деңнелгениң дөстериниң бөлүү: - 1/3; - 1/4.

Чижек 2. х^2 - 12х + 36 = 0 деп деңнелгени бодаар. а=1, b= - 12, с=36 D = (-12)^2– 4 × 1× 36 = 0 Деңнелге чүгле чаңгыс дөстүг: x = (12 ± √0)/2 = 6. Чижек 3. 7х^2 - 25х + 23 = 0 деп деңнелгени бодаар. Мында, а=7, b= - 25, с=23.

D = (-25)^2– 4 × 7× 23 = 625 – 644 = - 19

Дискриминант казыыр болганда, деңнелгениң дөстери чок.

Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазы биле а ≠ 0 турда, ах^2 + + bx + c = 0 хевирлиг деңнелгелерниң b азы c деп коэффициентилериниң кайы-бирээзи тикке дең турда, ындыг тускай хевирлерин бодап болур. Ындыг квадраттыг деңнелгелерни долу эвес деп адаар. Чижээ, 3х^2 + 17х = 0, х^2 – 1,21 = 0, 7х^2= 0 – долу эвес квадраттыг деңнелгелер. Бирги деңнелгеде а=3, b=17, с=0, ийигизинде а=1, b=0, с= - 1,21, үшкүзүнде а=7, b=0, с=0. Үндүрүп алган формуланы х^2 – 1,21= 0 деп долу эвес квадраттыг деңнелгени бодаарынга ажыглаар: D = (0)^2 - 4 × 1× (-1,21) = 4,84,

x = (0 ± √4,84)/2, x = - 1,1 азы x = 1,1.

aх^2 + bх = 0 болгаш aх^2 + с = 0 хевирлиг долу эвес квадраттыг деңнелгелерни мурнунда кылып турганы ышкаш кылдыр, солагай талакы кезээн көвүдедикчилерге чарып тургаш бодаарга эптиг.

Чижээ, х^2 – 1,21= 0 деп деңнелгеге үндүрүп алыр болза: (x + 1,1) (x-1,1)=0, x = - 1,1 азы x = 1,1.

7х^2= 0 деп деңнелге 0 деп санга дең чүгле чаңгыс дөстүг.

Виеттиң теоремазы

$5x^{2}-4x-12=0$ деп деңнелге $-11/5$ биле $2$ деп дөстерлиг.

Дөстериниң түңү $4/5$-ге, а көвүдээшкини $-12/5$-ге дең.

Көрүп турар деңнелгевистиң дөстериниң түңү ийиги коэффициентиниң бирги коэффициентиге хамаарылгазын удурланышкак демдектиг кылдыр алганынга дең, а дөстериниң көвүдээшкини хостуг кежигүннүң бирги коэффициентиге хамаарылгазынга дең дээрзин эскерери берге эвес.

Ийи дөстүг квадраттыг кандыг-даа деңнелгениң дөстериниң түңү биле көвүдээшкини ындыг бот-шынарларлыг бооп турар бе?

D˃0 турда ax^2 + bx + c = 0 деп квадраттыг деңнелге ийи дөстүг болур дээрзи билдингир. Оларны $x_{1}$ болгаш $x_{2}$ деп демдеглеп алыр:

$x_{1}=(-b-{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a$,

$x_{2}=(-b+{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a$.

Дөстериниң түңү биле көвүдээшкинин тывар:

$x_{1}+x_{2}=(-b-{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a+(-b+{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a=(-2b)/2a=-b/a$,

$x_{1}\cdot x_{2}=(-b-{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a\cdot (-b+{\sqrt {\mathcal {D}}})/2a=((-b)^{2}-({\sqrt {\mathcal {D}}})^{2})/(4a^{2})=(b^{2}-D)/(4a^{2})=(b^{2}-(b^{2}-4ac))/(4a^{2})=(4ac)/(4a^{2})=c/a$

Ынчангаш,

$x_{1}+x_{2}=-b/a,x_{1}\cdot x_{2}=c/a$.

$D=0$ турда $ax^{2}+bx+c=0$ деп квадраттыг деңнелге чүгле чаңгыс дөстүг болур, ону

$x=(-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}})/2a$,

деп формула-биле тып ап болур.

Бир эвес $D=0$ турда квадраттыг деңнелге ийи дең дөстүг деп санаар кылдыр дугуржуп алыр болза, үндүрүп алган түңнелдиң ынчан дөстери бар квадраттыг кандыг-даа деңнелгеге хамааржыр апаар.

Ынчангаш, мындыг теорема чөптүг болур:

$ax^{2}+bx+c=0$ деп квадраттыг деңнелгениң дөстериниң түңү $-b/a$-ге дең, а дөстериниң көвүдээшкини $c/a$-ге дең.

Бо теореманы алдарлыг француз математик Франсуа Виеттиң (1540-1603) ады-биле Виеттиң теоремазы деп адаар.

Квадраттыг бөдүүнчүткен деңнелгениң таварылгазында ооң дөстери биле коэффициентилериниң аразында хамааржылгалары элээн бөдүүн хевирлиг апаар. Бир эвес дөстери бар $ax^{2}+bx+c=0$ деп деңнелгеде $a$ деп коэффициент 1-ге дең болза, ынчан дөстериниң түңү $-b$-ге дең, а дөстериниң көвүдээшкини $c$-ге дең, тодаргайлаарга квадраттыг бөдүүнчүткен деңнелгениң дөстериниң түңү удурланышкак демдектиг кылдыр алган ийиги коэффициентизинге дең, а дөстериниң көвүдээшкини ооң хостуг кежигүнүнге дең.

Чижелээрге, $x^{2}-7x+10=0$

деп деңнелгеде дискриминант кадар болганда $D=(-7)^{2}-4\cdot 10=9$, деңнелге ийи дөстүг болур. $x_{1}$ биле $x_{2}$ - деңнелгениң дөстери. Виеттиң теоремазын ёзугаар $x_{1}+x_{2}=7$, $x_{1}\cdot x_{2}=10$ болур.

Виеттиң теоремазынга дедир теорема база чөптүг бооп турар: Бир эвес $m$ биле $n$ деп саннарның түңү $-b/a$-ге дең, а көвүдээшкини $c/a$-ге дең болза, ынчан ол саннар $ax^{2}+bx+c=0$ деп квадраттыг деңнелгениң дөстери болур.

Шынзытканы:

$ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0$       (1)

деп деңнелгеге

$x^{2}+b/ax+c/a=0$

деп деңнелгеге дең күштүг.